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9 avril 2009 - 14h00
Calcul numérique d'ensembles atteignables pour les systèmes hybrides et applications
par Alexandre Donzé de VERIMAG



Résumé : Le calcul d'ensembles atteignables pour les systèmes hybrides à
dynamiques continues nonlinéaires est un problème toujours difficile.
Le principal obstacle en est la malédiction de la dimensionalité, qui
désigne le fait que le nombre d'opérations nécessaires à sa résolution
croît de manière exponentielle avec le nombre de variables continues.
Dans le cas linéaire, on s'en sort en utilisant des types de
représentations d'ensembles particuliers, immunisés contre ce fléau
(zonotopes, ellipsoides, etc). Dans le cas général, on ne s'en sort
pas. Récemment nous avons proposé une approche basée sur la simulation
numérique et l'analyse de sensibilité qui permet d'approcher
l'ensemble atteignable de l'intérieur en construisant un "squelette"
de trajectoires augmentées de "tubes" atteignables. Le principal
avantage est de reporter le problème de la dimensionalité sur
l'ensemble des paramètres initiaux. On peut donc traiter des systèmes
de plus grandes dimensions, attendu que le nombre de paramètres
incertains reste restreint.

Durant cette présentation, j'exposerai de nouveaux progrès dans cette
direction. En particulier, je présenterai une méthode numérique
complète de calcul d'ensembles atteignables dont on peut caractériser
la précision en fonction du nombre de trajectoires simulées. Nous
utilisons cette méthode dans un algorithme de synthèse de paramètres
qui, à partir d'un ensemble initial de paramètres, construit une
partition en sous-ensembles dit "sûrs", "indéterminés" ou "non-sûrs"
suivant si ils induisent des trajectoires qui, respectivement,
"évitent", "passent près de", ou "n'évitent pas", un ensemble d'états
mauvais. L'approche peut être appliquée de manière efficace
directement sur des modèles Simulink et a également été appliquée à
des systèmes d'équation différentielles non linéaire issus de modèles
biologiques (en collaboration avec Christopher Langmead et Gilles
Clermont de l'université de Pittsburgh).





Alexandre Donzé est candidat sur les postes CNRS et Maître de Conférence
Ensimag (Chaire CEA) au laboratoire.



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