CCIS Seminar - Monday 24 June 2013 - salle A. Turing CE4
14:00:00 - Salle de salle A. Turing CE4

Luca De Feo , UVSQ

Arithmétique rapide pour les tours d'extensions de corps finis

Résumé : On se donne un corps fini F_q et un entier r, et on s'intéresse au problème de représenter efficacement les éléments d'un corps fini obtenu par une suite d'extensions de F_q de degré r. Par "efficace" on entend une représentation dans laquelle les opérations arithmétiques sur un ensemble quelconque d'éléments se font en temps quasi-logarithmique en la taille de la plus petite extension de F_q contenant tous les éléments. Cela peut être vu comme un premier pas vers une représentation efficace de la clôture algébrique de F_p. Le cas où r est égal à la caractéristique du corps a été résolu en 2009 par Schost et moi même, en utilisant les propriétés des extensions d'Artin-Schreier et des techniques inspirées de la résolution des systèmes polynomiaux. Le cas r = 2 a été résolu en 2012 par Doliskani et Schost, en utilisant des propriétés de la trace. Dans un travail récent, avec Doliskani et Schost, nous présentons des nouvelles solutions pour les cas q = ±1 mod r et r << q^(1/4). Ce dernier travail repose sur des techniques de géométrie arithmétique et fait le lien entre des idées de De Smit et Lenstra et d'autres de Couveignes et Lercier. Dans cet exposé je vais présenter les idées communes à ces différents travaux, puis je vais essayer de faire un tour d'horizon des techniques particulières à chacun, en me focalisant sur les plus élégantes ou prometteuses.


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